\chapter{陈省身1945年重要数学论文}
\author{陈省身\\普林斯顿高等研究院}
\date{1945年}
	
	\section{闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明}
	
	\begin{abstract}
		本文给出了高斯-博内公式对于闭黎曼流形的一个直接内蕴证明。通过引入单位切丛上的微分形式及利用纤维丛的拓扑不变量，我们建立了曲率形式与欧拉示性数之间的内在联系，避免了传统证明中对嵌入欧氏空间的依赖。该方法不仅简化了证明过程，更揭示了微分几何与拓扑学的深刻关联。
	\end{abstract}
	
	\subsection{主要定理}
	设$M$为$2n$维紧致定向黎曼流形，则其欧拉示性数$\chi(M)$可由曲率形式表示为：
	\[
	\chi(M) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_M \text{Pf}(\Omega)
	\]
	其中$\Omega$为曲率形式矩阵，$\text{Pf}$表示普法夫值。
	
	\subsection{证明概要}
	1. 构造单位切丛$S(M)$上的典范$2n-1$形式$\Pi$\\
	2. 证明$d\Pi$为曲率形式的多项式\\
	3. 通过斯托克斯定理建立积分关系\\
	4. 验证该积分与欧拉数的等同性
	
	\section{Hermitian流形的示性类}
	
	\begin{abstract}
		本文首次系统地研究了Hermitian流形的微分几何不变量。通过构造复向量丛的曲率形式，我们定义了一组具有拓扑不变性的微分形式，现称为陈类。这些示性类为复流形的分类提供了强有力的工具，并为后续复几何与代数几何的发展奠定了基础。
	\end{abstract}
	
	\subsection{定义与性质}
	设$E$为$n$维复向量丛，$\Omega$为其埃尔米特联络的曲率形式，则第$k$陈类$c_k(E)$由以下微分形式给出：
	\[
	\det\left(I + \frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\right) = \sum_{k=0}^n c_k(E)
	\]
	
	\subsection{基本定理}
	1. 陈类的上同调类不依赖于联络的选取\\
	2. 陈类的函子性：对于丛映射$f^*E$，有$c_k(f^*E)=f^*c_k(E)$\\
	3. 惠特尼求和公式：对于短正合列$0\to E'\to E\to E''\to 0$，有$c(E)=c(E')c(E'')$
	
	\nocite{*}
	\bibliographystyle{plain}
	\bibliography{references}
	